% ���Ф�ɬ�פʤ��ޤ��ʤ�
\documentclass{jarticle}               % ���Ф�ɬ�פʤ��ޤ��ʤ�
\usepackage{graphicx}               % figure  �Ϥꤳ��
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\textwidth}{15cm}
%\setlength{\textwidth}{35zw}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\textheight}{22cm}
%\setlength{\textheight}{33\baselineskip}
%\addtolength{\textheight}{\topskip}
\title{��ư}                        %
\author{����δ��}     %\\�϶�������
\newcommand{\bm}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}}
\begin{document}
%\maketitle
\Large{�夤��ߺ���}

\normalsize


�夤��ߺ��Ѥμ夵���դ����������롣

{\bf [1]  γ�Ҥ�������Ψ} 

(a)��γ�Ҥ�������Ψ$\Gamma_{\mu}$�ϰʲ��μ���ɽ����롣���ʤߤ˦�γ��
�μ���$m$��0.1057GeV�Ǥ��롣
\[
\Gamma_{\mu}=\frac{G^2m^5}{192\pi^3}
\]

(b)$\beta$������������Ψ�ϰʲ��μ��Ȥʤ롣�����������ˤ�ä����Ф����
�����ͥ륮����$E_0$�Ȥ��롣
\[
\Gamma_{\beta}=\frac{G^2E_0^5}{30\pi^3}
\]
���ʤߤ�$G=1.166\times10^{-5}$[GeV$^{-2}$]�Ǥ��롣$^{14}$O$\rightarrow
^{14}\rm{N}^*e^+\nu$�ˤ�����$E_0$��1.81MeV�Ǥ��롣

{\bf [2]  γ�Ҥμ�̿}

(a)γ�Ҥμ�̿��������Ψ�ˤϰʲ��δط������롣����ñ�̷ϤǤ�
$\tau=1/\Gamma$�Ȥʤ롣��γ�Ҥμ�̿��׻����Ƥߤ褦��
\[
\tau=\frac{\hbar c}{c\Gamma}=\frac{197\times 10^{-3}\times
10^{-15}\times 192 \times\pi^3}{3.0\times 10^8\times 1.166^2\times
10^{-10}\times0.1057^5}\simeq 2.2[\rm{\mu s}]
\]

{\bf [3]  ȿ����Ψ��Ʃ��Ψ}

(a)γ�Ҿ��ͤ�ȿ����Ψ��Ĵ�٤�ˤ�ȿ�������Ѥ�ɬ�פǤ��롣����
�������Ф����˥塼�ȥ�ΤΥ��ͥ륮����$E_{\nu}$�Ȥ���ȳ˻ҤȤξ��ͤ�
������$\sigma_{\nu N}$�ϰʲ��μ��Ȥʤ롣
\[
\sigma_{\nu e}=6.77\times E_\nu(\rm{GeV})\times 10^{-39}[\rm{cm}^2]
\]
ñ�����Ѥ�����$N_N$�γ˻Ҥ�����Ȥ���ɸŪ��Ĺ����$d$�Ȥ����ȿ����Ψ
$Y$��$Y=\sigma_{\nu N}N_N d$�Ȥʤ롣����ˤ�ä����ͤ���˥塼�ȥ�Το�
��$N_{in}$�Ȥ����Ʃ�᤹��˥塼�ȥ�Το�$N_\nu$
�ϰʲ��μ��Ȥʤ롣
\[
N_\nu=N_{in}exp(-\sigma_{\nu N}N_N d)
\]
���줫������γ�Ҥ�2.71828ʬ��1�Ȥʤ븺��Ĺ$L$��$L=1/\sigma_{\nu N}N_N$�Ȥ�
�뤳�Ȥ��狼�롣̩��$\rho$�������ֹ�$Z$�����̿�$A$�����ܥ��ɥ���$N_0$��
�Ф���$N_N$��$N_0 \rho /A$�Ȥ�
�롣

�˥塼�ȥ�Τ��ϵ���̤�ȴ����ۤ�Ʃ���Ϥ������ȸ�����
����Τǡ��ϵ���濴��Ŵ�ǤǤ��Ƥ���ȸ����Ƥ��뤳�Ȥ��顢1MeV�Υ˥塼
�ȥ�Τ��Ф��븺��Ĺ$L_{Fe}$��׻������
\[
L_{Fe}=\frac{A}{\sigma_{\nu N}N_0 \rho }=\frac{55.85}{6.77\times10^{-3}\times
10^{-39}\times6.02\times10^{23}\times 7.87}=1.74\times10^{18}[\rm{cm}]=1.74\times10^{13}[\rm{km}]
\]
�����˻������¸���Ķ������ȯ�ˤ��˥塼�ȥ�Τ�Ȥ館�뤳�Ȥ��Ǥ�������
���ΤȤ���ȿ����Ψ��1MeV�Υ˥塼
�ȥ�Τ��Ф��Ƹ��Ѥ�äƤߤ롣����ȥ�ο�����Ѥ�$V_{H_2O}$�Ȥ�1ʿ����
����᡼�ȥ뤢����100���Ĥ������Ȥ�����˥塼�ȥ�Το���$N_{\nu}$�Ȥ�
��Ȱʲ��μ��Ƿ׻��Ǥ��롣
\[
Y=\sigma_{\nu N}N_N N_{\nu}V_{H_2O}
\]
\end{document}
